BLOQUE VI: DESCRIBES LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Identificaras diferentes sistemas de medidas de ángulos, y describirás las razones trigonométricas para ángulos agudos. Finalmente, aplicaras las razones trigonométricas en ejercicios teóricos- prácticos.
BLOQUE VII: APLICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Aplicaras las leyes de los senos y los cosenos
lunes, 20 de abril de 2015
Razones trigonometricas
RAZONES TRIGONOMETRICA
La trigonometría, en sus inicios, se concreto al estudio de los triángulos. Por varios siglos se emplea en topografía, navegación y astronomía.
Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triangulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Por ejemplo:
Los ángulos de A y B son agudos
El Angulo C es recto.
Puede notarse que los lados de los ángulos agudos son la hipotenusa y un cateto y los del Angulo recto son catetos.
Considerado uno de los ángulos agudos del triangulo rectángulo e identificada previamente la hipotenusa, es necesario diferenciar los catetos.
Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.
Obsérvense los siguientes triángulos:
Nótese que los lados del triangulo se representan con las dos letras mayúsculas que corresponden a sus puntos extremos, colocando sobre ellas una línea horizontal, o bien, con una sola letra minúscula.
Las razones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triangulo rectángulo en relación con uno de sus ángulos agudos.
En el siguiente cuadro se observan las seis razones trigonométricas que se pueden establecer, para cualesquiera de los ángulos agudos, en un triangulo rectángulo.
Seno y cosecante
En un triangulo rectángulo, el seno y la cosecante de cualesquiera de sus ángulos agudos (x), se expresan con las razones siguientes:
Coseno y secante
En un triangulo rectángulo, las razones del coseno y la secante de cualesquiera de sus ángulos agudos (x) son:
Tangente y cotangente
La tangente y cotangente de cualesquiera de los ángulos agudos (x) de un triangulo se establece con las siguientes razones:
En el cuadro se resumen las seis funciones trigonométricas para cualquiera de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo
Puede notarse que las funciones trigonométricas fundamentales y sus reciprocas tienen invertidos sus términos.
sen 30° = 4/x
sen 30° = 1/2
4/x = 1/2
x = 8
cos 30° = y / x
cos 30° = .86
y / x = y / 8 = .86
y = 6.9
La trigonometría, en sus inicios, se concreto al estudio de los triángulos. Por varios siglos se emplea en topografía, navegación y astronomía.
Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triangulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Por ejemplo:
Los ángulos de A y B son agudos
El Angulo C es recto.
Puede notarse que los lados de los ángulos agudos son la hipotenusa y un cateto y los del Angulo recto son catetos.
Considerado uno de los ángulos agudos del triangulo rectángulo e identificada previamente la hipotenusa, es necesario diferenciar los catetos.
Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.
Obsérvense los siguientes triángulos:
Nótese que los lados del triangulo se representan con las dos letras mayúsculas que corresponden a sus puntos extremos, colocando sobre ellas una línea horizontal, o bien, con una sola letra minúscula.
Las razones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triangulo rectángulo en relación con uno de sus ángulos agudos.
En el siguiente cuadro se observan las seis razones trigonométricas que se pueden establecer, para cualesquiera de los ángulos agudos, en un triangulo rectángulo.
Seno y cosecante
En un triangulo rectángulo, el seno y la cosecante de cualesquiera de sus ángulos agudos (x), se expresan con las razones siguientes:
Coseno y secante
En un triangulo rectángulo, las razones del coseno y la secante de cualesquiera de sus ángulos agudos (x) son:
Tangente y cotangente
La tangente y cotangente de cualesquiera de los ángulos agudos (x) de un triangulo se establece con las siguientes razones:
En el cuadro se resumen las seis funciones trigonométricas para cualquiera de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo
Puede notarse que las funciones trigonométricas fundamentales y sus reciprocas tienen invertidos sus términos.
sen 30° = 4/x
sen 30° = 1/2
4/x = 1/2
x = 8
cos 30° = y / x
cos 30° = .86
y / x = y / 8 = .86
y = 6.9
Ángulos de elevación y depresión y problemas de aplicacion.
Son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal.
En estos casos, el observador se encuentra por debajo del objeto observado o bien, se encuentra por encima de dicho objeto.
Para estas mediciones se utilizan sencillos aparatos que colocados sobre un trípode ( 3 puntos determinan un solo plano) el simple giro realizado de la mirilla sobre el punto a observar nos señala los grados girados respecto a la horizontal:
En el caso del ángulo de depresión, el observador se encuentra por encima del lugar a observar y del modo anterior su representación podemos hacerla del modo siguiente:
SENO y COSENO DE UN ÁNGULO
No te preocupes de las palabras que se utilizan en Trigonometría, lo importante es que sepas para qué sirven. Comprobarás que es una parte de las Matemáticas sencilla y muy interesante.
Los egipcios hace muchos años se dieron cuenta de que si clavaban en el suelo unas estacas de diferentes alturas sucedían cosas interesantes.
Observa la figura siguiente:
Verás que tenemos tres triángulos rectángulos:
Los catetos opuestos al ángulo α son, de menor a mayor: AB, A’B’ y A”B”.
Los catetos contiguos al ángulo α (que están tocando al ánguloα) son, de menor a mayor: OA, O A’ y OA”.
Las hipotenusas de los tres triángulos son, de menor a mayor: OB, OB’ y OB”.
Hace poco has leído que los egipcios se dieron cuenta, pero ¿de qué se dieron cuenta?
Lee con mucha atención:
Para un mismo ángulo α, los cocientes de los valores:
Es decir, los cocientes de los catetos opuestos al ángulo entre los valores de sus hipotenusas, SON IGUALES.
Si aumentamos o disminuimos el valor del ángulo, los valores de las medidas de los catetos e hipotenusas variarán pero los cocientes entre los nuevos valores seguirán siendo iguales entre sí.
Para un mismo ángulo, el valor del cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa será siempre el mismo.
Ejemplos:
Para un ángulo de 30º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,5.
Para un ángulo de 45º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,707.
Al cociente del cateto opuesto al ángulo entre su hipotenusa se llama seno del ángulo y se escribe sen α.
En estos casos, el observador se encuentra por debajo del objeto observado o bien, se encuentra por encima de dicho objeto.
Para estas mediciones se utilizan sencillos aparatos que colocados sobre un trípode ( 3 puntos determinan un solo plano) el simple giro realizado de la mirilla sobre el punto a observar nos señala los grados girados respecto a la horizontal:
En el caso del ángulo de depresión, el observador se encuentra por encima del lugar a observar y del modo anterior su representación podemos hacerla del modo siguiente:
SENO y COSENO DE UN ÁNGULO
No te preocupes de las palabras que se utilizan en Trigonometría, lo importante es que sepas para qué sirven. Comprobarás que es una parte de las Matemáticas sencilla y muy interesante.
Los egipcios hace muchos años se dieron cuenta de que si clavaban en el suelo unas estacas de diferentes alturas sucedían cosas interesantes.
Observa la figura siguiente:
Verás que tenemos tres triángulos rectángulos:
Los catetos opuestos al ángulo α son, de menor a mayor: AB, A’B’ y A”B”.
Los catetos contiguos al ángulo α (que están tocando al ánguloα) son, de menor a mayor: OA, O A’ y OA”.
Las hipotenusas de los tres triángulos son, de menor a mayor: OB, OB’ y OB”.
Hace poco has leído que los egipcios se dieron cuenta, pero ¿de qué se dieron cuenta?
Lee con mucha atención:
Para un mismo ángulo α, los cocientes de los valores:
Es decir, los cocientes de los catetos opuestos al ángulo entre los valores de sus hipotenusas, SON IGUALES.
Si aumentamos o disminuimos el valor del ángulo, los valores de las medidas de los catetos e hipotenusas variarán pero los cocientes entre los nuevos valores seguirán siendo iguales entre sí.
Para un mismo ángulo, el valor del cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa será siempre el mismo.
Ejemplos:
Para un ángulo de 30º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,5.
Para un ángulo de 45º, el cociente entre el cateto opuesto y su hipotenusa vale 0,707.
Al cociente del cateto opuesto al ángulo entre su hipotenusa se llama seno del ángulo y se escribe sen α.
Concepto de función trigonometrica
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Higrometría.Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica,telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.Propiedades básicas de las funciones trigonométricas:Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.
Representación gráfica de funciones trionometricas
De esta maneras se puede saber que existen 6 diferentes gráficas según la función que cuente puede se de forma adecente, como descendente.
Problemas en la aplicación de funciones trigonometricas
La mayoría de los problemas son por causas tan simples como la de sumar, restar. multiplicar, etc., A continuación te mostramos algunos de los problemas por el cual sucede esto.
Determinar identidades trigonometricas
Las seis funciones trigonométricas para el ángulo E en el siguiente triángulo rectángulo.
 | ||
longitud del lado opuesto E = 3
longitud del lado adyacente E = 4
longitud de la hipotenusa = 5
|
Este es el mismo triángulo que vimos en el ejemplo anterior. La diferencia es que lo vemos desde la perspectiva del ángulo E en lugar de la del ángulo D. Por lo que los lados opuesto y adyacente cambian de lugar. Esto es,
 es adyacente al ángulo E y  es opuesto al ángulo E. | |
  |
Sustituye los nuevos valores en las definiciones de las seis funciones.
| |
Respuesta
|  | |
Identidades trigonometricas y Ecuaciones trigonometricas
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
Aquí algunos ejemplos de identidades y ecuaciones trigonométricas:
Aquí algunos ejemplos de identidades y ecuaciones trigonométricas:
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